Монотонні функції

Монотонна функція — це функція, приріст якої не змінює знаку, тобто завжди або невід'ємний, або недодатній. Якщо при цьому приріст ще і не дорівнює нулю, то функція називається строго монотонною.

Функція монотонна на деякому проміжку, коли вона зростає або спадає на обраному інтервалі. Тобто монотонність функції можна тлумачити дослівно – як її одноманітність.

Функція зростає на проміжку, коли для будь-якої пари точок обраного інтервалу, виражених співвідношенням х2 > х1, вірна нерівність f (х2) > f (х1). Отже, більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, і її графік розташовується «знизу вгору».

Функція спадає на інтервалі, коли для будь-якої пари точок обраного проміжку, таких, що х2 > х1, вірна нерівність f (х2) < f (х1). Отже, більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції, і її графік розташовується «зверху вниз».

Також можна описати неспадну функцію (пом’якшене умова f (х2) ≥ f (х1) для першої формулювання) і незростаючу функцію (пом’якшене умова f (х2) ≤ f (х1)для другої формулювання).

Незростаючу або неспадну функцію на проміжку позначають як монотонність функції на інтервалі. Строга монотонність є окремим підтипом «просто» монотонності.

Функція постійна (немонотонна) у разі, коли вона не зменшується і не збільшується.

Задання функції

Задають функції найчастіше формулами (формула - formula), таблично (таблиця - table) або графічно. Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати - відповідним значенням функції.

Наприклад, формула y=x² задає функцію, яка виражає відповідність між числами і їх квадратами. Якщо область визначення цієї функції - множина цілих чисел з проміжку [-3;3], то її можна задати таблицею:

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у	9	4	1	0	1	4	9

Графіком функції y=x², заданої на множині всіх дійсних чисел R, є вся парабола (parabola) з нескінченними вітками (рис. 1). Область визначення цієї функції - множина R, а область значень - проміжок [0;+∞].

Означення функції

Така залежність між змінними x та y, в якій кожному значенню змінної x із деякої множини D відповідає єдине значення змінної y, називається функціональною залежністю, або функцією.

Способи задання функції:

• Формульне задання
• Табличне задання
• Графічне задання
• Словесне задання

Існують спеціальні назви для деяких важливих різновидів функцій:

1. Ін'єктивна функція — функція, в якій різним значенням аргумента відповідають різні результати, тобто, для двох елементів x, y з Y виконується: f(x) = f(y) тоді й тільки тоді, якщо x = y.

2. Сюр'єктивна функція — функція f:X→Y, область значень якої збігається з множиною Y, тобто, для кожного y з Y існує x з X такий, що f(x) = y.

3. Бієктивна функція — функція, яка є одночасно сюр'єктивною та ін'єктивною, тобто встановлює взаємно однозначну відповідність між елементами множин X та Y.

Теоретичні відомості

Розрахунки та побудова функції

Презентація